“PAPER”
MATA
KULIAH MATEMATIKA DISKRIT
PENGAMPU
: Drs. Ariyanto, M.Pd.
Di
susun oleh :
Zainudin (A410090013)
FAKULTAS
KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
PROGAM
STUDI MATEMATIKA
UNIVERSITAS
MUHAMMADIYAH SURAKARTA
2012/2013
Kata
Pengantar
Rasa syukur saya
panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa karena limpahan Rahmad kepada saya
sehingga saya dipercaya untuk menghasilkan karya saya berupa laporan tentang
penerapan combinatoring yang insya Allah dapat bermanfaat bagi saya dan
pembaca.
Ilmu pengetahuan, baik
pengetahuan alam, pengetahuan sosial, maupun pengetahuan tekhnologi, pada akhir
– akhir ini berkembanga sangat pesat dan masih akan terus berkembang. Terlebih
Matematika Diskrit yang mendasari segala hal yang berhubungan dengan
perhitungan.
Saya selaku penulis
berharap agar laporan ini dapat membantu pembaca dalam memahami lebih penerapan
combinatorial dalam kehidupan. Akhirnya terima kasih saya ucapkan kepada semua
pihak yang telah mendorong dan membantu terwujudnya laporan ini. Sedah tentu laporan
ini masih memerlukan koreksi dan penyempurnaan, baik dari segi penyajian maupun
isinya. Saran dan koreksi dari semua pihak sangat saya harapkan.
Surakarta, 22
Oktober 2012
Penulis
DAFTAR ISI
Kata
Pengantar.................................................................................................................... 2
Daftar
Isi............................................................................................................................. 3
1.
BAB
I. Pendahuluan.................................................................................................... 4
2.
BAB
II. Pembahasan.................................................................................................... 6
A.
Ekuivalensi logis.................................................................................................. 6
B.
Contoh
................................................................................................................ 10
Kesimpulan dan Saran......................................................................................................... 11
Daftar Pustaka..................................................................................................................... 12
BAB I
PENDAHULUAN
LATAR BELAKANG
Seseorang
dalam melakukan komunikasi dengan orang lain menggunakan kata-kata. Rangkaian
kata ini merupakan suatu kalimat yang kemudian dapat dimengerti oleh orang
lain. Kalimat itu disebut kalimat berarti. Kalimat berarti dapat digolongkan
menjadi dua, yaitu pernyataan (deklaratif) dan bukan pernyataan ( non
deklaratif).
Tapi
dalam makalah ini kita tidak akan
membahas tentang kalimat deklaratif dan
kalimat non deklaratif karena pada penjelasanb sebenarnya telah dijelaskan tentang kedua bentuk kalimat
tersebut, mulai dari kanjungasi, disjungsi, semua itu telah dibahas pada
pertemuan sebelumnya.
Pada
petemuam sebelumnya telah dibahas bahwa ekspresilogika dapat termasuk
teutologi, kotradiksi, jika sesuatu ekspresi logika termasuk tautologi, maka
ada implikasi logis yang diakibatkannya, yaitu jika dua buah ekspresi logika eknivalen (sama)
Contoh : A B adalah eknivalen secara logis
jika terbukti tautologi
Bab
ini akan membahas tentang persaman-persaman antara dua buah ekspresi logika
yang mungkin eknivalen (sama), atau mungkin berbeda, yang kesamaan atau berbeda
itu akan dibuktikan dalam table kebenaran, dan juga membahas tentang, konvers,
invers, dan kontraposisi.
BAB II
PEMBAHASAN
A. EKUIVALENSI LOGIS
Pada
tautologi dan juga kontradiksi, dapat dipastikan bahwa jika dua buah ekspresi
logika adalah tautologi, maka kedua buah ekspresi tersebut ekuivalen secara
logis, demikian juga jika keduanya
kontradiksi : persoalanya ada pada cotingent, karena memiliki semua nilai S dan
B. tetapi jika ukuran B dan S atau sebaliknya pada tabel kebenaran tetap pada ukuran yang sama
maka tetap disebut ekuivalen secara logis.
Contoh
:
1. Vika
sangat cantik dan pemarah
2. Vika
pemarah dan sangat cantik
Kedua
pernyataan diatas, tanpa dipikir panjang, akan dikatakan ekuivalen atau sama
saja, dalam bentuk ekspresi logika dapat ditampilkan berikut :
A = Vika sangat cantik
B = Vika pemarah
Maka ekspresi logika adalah :
(1) A
∧ B
(2) B
∧ A
Kedua buah ekspresi logika tesebut
dikatakan ekuivalen secara logis, dan dapat ditulis :
(A ∧
B) = (B ∧ A)
Ekuivaelnsi logis dan kedua ekspresi logika
dapat dibuktikan dengan tebel kebenaran. Sebagai berikut.
A
|
B
|
A ∧ B
|
B ∧ A
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
S
|
S
|
S
|
S
|
Pembuktian
dengan tabel kebenaran diatas, walaupun setiap ekspresi logika memiliki nilai B
dan S, tetapi untungnya sama maka secara logis dikatakan ekuivalen, tetapi jika
untuk S dan B tidak sama maka tidak biasa dikatakan ekuivalen secara logis.
Defenisi = proposisi A dan B disebut ekuivalen secara
logis jika A B adalah tautologi.
Notasi atau simbol A ≡ B menandakan bahwa A dan B ekuivalen secara logis.
Tabel kebenaran
merupakan alat untuk membuktikan kebenaran ekuivalen secara logis. Kesimpulan
diambil berdasarkan hasil dari tabel kebenaran tersebut.
Contoh:
1. Rahmat
tidak pandai, atau dia tidak jujur
2. Adalah
tidak benar jika badu pandai dan jujur
Kedua
pernyataan diatas sebenarnya sama saja, tetapi bagaimana jika dibuktikan dengan
tabel kebenaran. Berdasarkan ekspersi logika, ubah dahulu pernyataan diatas
menjadi ekspresi logika dengan member variable propesional.
A = Rahmat pandai
B = Rahmat jujur
Kedua penyataan menjadi :
1. –A
V – B
2. –
(A V B)
Selanjutnya dibuktikan dalam tabel
kebenaran bahwa kedua ekspresi logika itu ekuivalen
A
|
B
|
A ∧ B
|
- A V - B
|
- (A ∧ B)
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
B
|
Meskipun kedua ekspresi
logika diatas memiliki nilai kebenaran
yang sama, ada nilai B dan S, keduanya
baru dikatakan ekuivalen secara logis jika dihubungkan dengan perangkai
ekuivalen ( ) dan akhirnya
menghasilkan tautologi
Perhatikan lanjutan tabel berikut :
– A V – B – (A V B)
|
B
|
B
|
B
|
B
|
Terbukti bahwa kedua ekspresi logika diatas ekuivalen secara logis karena
nilai kebenaran bernilai B.
B. Hukum logika
Hukum-hukum
logika yang digunakan untuk memebutikan berbagai keperluan, termasuk validitas
sebuah argument, dapat dikembangkan dari
ekuivalen logis. Hukum-hukum logika juga
diambil dari ekspresi-ekspresi logika berdasarkan pernyataan-pernyataan
sehingga tetap dapat dibuktikan kebenarannya melalui pernyataan tersebut
contoh:
1. Jika
Badu tidak belajar, maka Badu akan gagal.
2. Badu
Harus Belajar, atau Badu akan gagal.
Jika ingin membuat ekspresi logika, maka
variabel proposisionalnya harus duganti dulu, seperti berikut.
A = Badu belajar
B = Badu gagal
Maka ekspresi logika akan menjadi
1. A B
2. –
A V B
Kemudian dibuktikan
bahwa A B ≡ – A V B. dalam tabel
kebenaran.
A
|
B
|
A B
|
– A
|
– A V B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
Ternyata A B ≡ - A V B karena memiliki nilai
kebenaran yang sama pada tabel kebenaran.
Sekarang perhatikan hukum de morgan
1. –
(A Λ B) - A V – B
2. –
(A V B) ≡ - A Λ- B
Pembuktian hukum de morgan juga dapat
dibuiktikan dengan tabel kebenaran,
seperti hukum-hukum lainya, sebuah hukum juga dapat diberlakukan terbalik, jadi – (A Λ B) ≡ - A V
– B tetap akan sam dengan - A V – B ≡ – (A Λ B) untuk hukum-hukum logika lainya
dapat dilihat pada contoh berikut.
Contoh :
1. Jika
Rahmat tidak sekolah, maka Rahmat tidak akan pandai
2. Jika
Rahmat pandai, maka Rahmat pasti sekolah
untuk membuktikan maka harus diubah
menjadi ekspresi logika seperti berikut :
A = Rahmat sekolah
B = Rahmat pandai
Maka akan menjadi
1. – A - B
2. B A
Pembuktian ekuivalensi dilakukan dengan
tabel kebenaran
A
|
B
|
– A
|
– B
|
– A –B
|
B A
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
B
|
Jadi terbukti bahwa :
– A –B ≡ B A
C. Konvers, invers, dan kontraposisi
Dari suatu
komplikasi p q,
dapat peroleh :
i.
q p yang disebut konvers dari p q
ii.
–p -q yang disebut invers dari p q
iii.
–q -p yang disebut kontraposisi dari p q
Tabel
kebenaran dari keempat pernyataan diatas sebagai berikut.
Implikasi
|
Konvers
|
Invers
|
Kontraposisi
|
||||
p
|
q
|
– p
|
– q
|
p q
|
q p
|
–p –q
|
–q –p
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
Dari
tabel kebenaran ini dapat dilihat bahwa
i.
p q ≡ – q – p
ii.
q p ≡ – p – q
contoh
:
Apakah
konvers, invers, kantraposisi kalimat dibawah ini ?
a.
Jika merupakan suatu bujur sangkar, maka
A merupakan suatu 4 persegi panjang
b.
Jika N adalah bilangan prima > 2,
maka N adalah bilangan ganjil
Penyelesaian :
a.
Konvers :
jika a merupakan 4 persegi panjang
maka a adalah suatu bujur sangkar
Invers : jika a bukan bujur sangkar maka bukan 4 persegi
panjang
Kontraposisi : jika a bukan 4 persegi panjang maka a bukan bujur sangkar
b.
Konvers : jika N adalah bilangan ganjil, maka N
adalah bilangan prima > 2
Invers : jika N bukan bilangan prima > 2 maka N
bukan bilangan ganjil
Kontraposisi : jika N bukan
bilangan ganjil, maka N bukan bilangan prima. > 2
KESIMPULAN
Matematika
Diskrit adalah salah satu ilmu yang memiliki banyak kegunaan dalam berbagai
bidang ilmu lainnya. Salah satu cabang dalam ilmu matematika diskrit, yaitu logika
yang sangat penting dalam kehidupan sehari-hari.
Dari
penjelasan dan pembahasan tentang logika matematika, dapat dapat disimpulkan
bahwa matematika merupakan mata kuliah yang sangat membutuhkan pemahaman yang
tinggi, khususnya dalam kehidupan sahari-hari logika peranan yang sangat
penting, karena apabila seseorang tidak memahami logika maka akan sering
terjadi kesalapahaman dalam kehidupan sehari-hari. Logika matematika juga
memberikan bukti bahwa pada bidang matematika itu bukan selamanya berupa angka- angka tapi selain
dari itu terdapat sebuah
pernyataan-pernyataan yang membutuhkan pemahaman tinggi.
SARAN-SARAN
Dalamn
makalah ini masih terdapat kekurangan dan masih sangat membutuhkan
penambahan-penambahan, misalnya contoh-contoh dan pembahasan yang mungkin masih
belum bisa dimengerti dengan cepat oleh yang sempat membacanya, kami harapka
semoga makalah ini dapat berguna bagi pewmbacanya dan dapat menjadi reperensi
dalam mempelajari logika matematika,
karena begitu pentingnya logika dalam kehidupan sehari-hari maka kami sarankan
kepada teman-teman untuk dapat memahami
logika untuk menghindari
kesalahpahaman yang mungkin
terjadi.
DAFTAR PUSTAKA