SALJU

Kamis, 25 Februari 2016

Proposal ''PENINGKATAN KEMAMPUAN KOMUNIKASI MATEMATIKA DENGAN PROBLEM SOLVING''

“PAPER”
MATA KULIAH MATEMATIKA DISKRIT
PENGAMPU :  Drs. Ariyanto, M.Pd.


logo ums.jpg


Di susun oleh :
Zainudin                     (A410090013)




FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
PROGAM STUDI MATEMATIKA
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SURAKARTA
2012/2013



Kata Pengantar

Rasa syukur saya panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa karena limpahan Rahmad kepada saya sehingga saya dipercaya untuk menghasilkan karya saya berupa laporan tentang penerapan combinatoring yang insya Allah dapat bermanfaat bagi saya dan pembaca.
Ilmu pengetahuan, baik pengetahuan alam, pengetahuan sosial, maupun pengetahuan tekhnologi, pada akhir – akhir ini berkembanga sangat pesat dan masih akan terus berkembang. Terlebih Matematika Diskrit yang mendasari segala hal yang berhubungan dengan perhitungan.
Saya selaku penulis berharap agar laporan ini dapat membantu pembaca dalam memahami lebih penerapan combinatorial dalam kehidupan. Akhirnya terima kasih saya ucapkan kepada semua pihak yang telah mendorong dan membantu terwujudnya laporan ini. Sedah tentu laporan ini masih memerlukan koreksi dan penyempurnaan, baik dari segi penyajian maupun isinya. Saran dan koreksi dari semua pihak sangat saya harapkan.






Surakarta, 22 Oktober 2012


                                                                                                                      Penulis

DAFTAR ISI

Kata Pengantar.................................................................................................................... 2
Daftar Isi............................................................................................................................. 3
1.        BAB I. Pendahuluan.................................................................................................... 4
2.        BAB II. Pembahasan.................................................................................................... 6
A.    Ekuivalensi logis.................................................................................................. 6
B.     Contoh ................................................................................................................ 10
Kesimpulan dan Saran......................................................................................................... 11
Daftar Pustaka..................................................................................................................... 12




BAB I
PENDAHULUAN

LATAR BELAKANG
Seseorang dalam melakukan komunikasi dengan orang lain menggunakan kata-kata. Rangkaian kata ini merupakan suatu kalimat yang kemudian dapat dimengerti oleh orang lain. Kalimat itu disebut kalimat berarti. Kalimat berarti dapat digolongkan menjadi dua, yaitu pernyataan (deklaratif) dan bukan pernyataan ( non deklaratif).
Tapi dalam makalah ini  kita tidak akan membahas tentang kalimat  deklaratif dan kalimat non deklaratif karena pada penjelasanb sebenarnya  telah dijelaskan tentang kedua bentuk kalimat tersebut, mulai dari kanjungasi, disjungsi, semua itu telah dibahas pada pertemuan sebelumnya.
Pada petemuam sebelumnya telah dibahas bahwa ekspresilogika dapat termasuk teutologi, kotradiksi, jika sesuatu ekspresi logika termasuk tautologi, maka ada implikasi logis yang diakibatkannya, yaitu jika dua  buah ekspresi logika eknivalen (sama)
Contoh : A               B adalah eknivalen secara logis jika terbukti tautologi
Bab ini akan membahas tentang persaman-persaman antara dua buah ekspresi logika yang mungkin eknivalen (sama), atau mungkin berbeda, yang kesamaan atau berbeda itu akan dibuktikan dalam table kebenaran, dan juga membahas tentang, konvers, invers, dan kontraposisi.



BAB II
PEMBAHASAN
A.    EKUIVALENSI  LOGIS
Pada tautologi dan juga kontradiksi, dapat dipastikan bahwa jika dua buah ekspresi logika adalah tautologi, maka kedua buah ekspresi tersebut ekuivalen secara logis,  demikian juga jika keduanya kontradiksi : persoalanya ada pada cotingent, karena memiliki semua nilai S dan B. tetapi jika ukuran B dan S atau sebaliknya pada  tabel kebenaran tetap pada ukuran yang sama maka tetap disebut ekuivalen secara logis.
Contoh :
1.      Vika sangat cantik dan pemarah
2.      Vika pemarah dan sangat cantik
Kedua pernyataan diatas, tanpa dipikir panjang, akan dikatakan ekuivalen atau sama saja, dalam bentuk ekspresi logika dapat ditampilkan berikut :
A     =        Vika sangat cantik
B      =        Vika pemarah
Maka ekspresi logika adalah :
(1)   A B
(2)   B A
Kedua buah ekspresi logika tesebut dikatakan ekuivalen secara logis, dan dapat ditulis :
(A B) = (B A) 
Ekuivaelnsi logis dan kedua ekspresi logika dapat dibuktikan dengan tebel kebenaran. Sebagai berikut.
A
B
A B
B A
B
B
B
B
B
S
S
S
S
B
S
S
S
S
S
S

Pembuktian dengan tabel kebenaran diatas, walaupun setiap ekspresi logika memiliki nilai B dan S, tetapi untungnya sama maka secara logis dikatakan ekuivalen, tetapi jika untuk S dan B tidak sama maka tidak biasa dikatakan ekuivalen secara logis.
Defenisi     = proposisi A dan B disebut ekuivalen secara logis jika A            B adalah tautologi. Notasi atau simbol A ≡ B menandakan bahwa A dan B ekuivalen secara logis.
Tabel kebenaran merupakan alat untuk membuktikan kebenaran ekuivalen secara logis. Kesimpulan diambil berdasarkan hasil dari tabel kebenaran tersebut.
Contoh:
1.      Rahmat tidak pandai, atau dia tidak jujur
2.      Adalah tidak benar jika badu pandai dan jujur
Kedua pernyataan diatas sebenarnya sama saja, tetapi bagaimana jika dibuktikan dengan tabel kebenaran. Berdasarkan ekspersi logika, ubah dahulu pernyataan diatas menjadi ekspresi logika dengan member variable propesional.
A = Rahmat pandai
B = Rahmat jujur
Kedua penyataan menjadi :
1.      –A V – B
2.      – (A V B)
Selanjutnya dibuktikan dalam tabel kebenaran bahwa kedua ekspresi logika itu ekuivalen
A
B
A B
- A V - B
- (A B)
B
B
B
S
S
B
S
S
B
B
S
B
S
B
B
S
S
S
B
B


Meskipun kedua ekspresi logika diatas memiliki nilai  kebenaran yang sama, ada nilai B dan S, keduanya  baru dikatakan ekuivalen secara logis jika dihubungkan dengan perangkai ekuivalen (             ) dan akhirnya menghasilkan tautologi
Perhatikan lanjutan tabel berikut :
– A V – B             – (A V B)
B
B
B
B

Terbukti bahwa kedua ekspresi  logika diatas ekuivalen secara logis karena nilai kebenaran bernilai B.

B.     Hukum logika
Hukum-hukum logika yang digunakan untuk memebutikan berbagai keperluan, termasuk validitas sebuah argument,  dapat dikembangkan dari ekuivalen logis. Hukum-hukum logika  juga diambil dari ekspresi-ekspresi logika berdasarkan pernyataan-pernyataan sehingga tetap dapat dibuktikan kebenarannya melalui pernyataan tersebut
contoh:
1.      Jika Badu tidak belajar, maka Badu akan gagal.
2.      Badu Harus Belajar, atau Badu akan gagal.
Jika ingin membuat ekspresi logika, maka variabel proposisionalnya harus duganti dulu, seperti berikut.
A = Badu belajar
B = Badu gagal
Maka ekspresi logika akan menjadi
1.      A       B
2.      – A V B

Kemudian dibuktikan bahwa A       B ≡ – A V B. dalam tabel kebenaran.
A
B
A      B
– A
– A V B
B
B
B
S
B
B
S
S
S
S
S
B
B
B
B
S
S
B
B
B

Ternyata A         B ≡ - A V B karena memiliki nilai kebenaran yang sama pada tabel kebenaran.
Sekarang perhatikan hukum de morgan
1.      – (A Λ B) - A V – B
2.      – (A V B) ≡ - A Λ- B
Pembuktian hukum de morgan juga dapat dibuiktikan dengan tabel kebenaran,  seperti hukum-hukum lainya, sebuah hukum juga dapat  diberlakukan terbalik, jadi – (A Λ B) ≡ - A V – B tetap akan sam dengan - A V – B ≡ – (A Λ B) untuk hukum-hukum logika lainya dapat dilihat pada contoh berikut.
 Contoh :
1.      Jika Rahmat tidak sekolah, maka Rahmat tidak akan pandai
2.      Jika Rahmat pandai, maka Rahmat pasti sekolah
untuk membuktikan maka harus diubah menjadi ekspresi logika seperti berikut :
A = Rahmat sekolah
B = Rahmat pandai
Maka akan menjadi
1.      – A       - B
2.      B        A




Pembuktian ekuivalensi dilakukan dengan tabel kebenaran
A
B
– A
– B
– A       –B
B       A
B
B
S
S
B
B
B
S
S
B
B
B
S
B
B
S
S
S
S
S
B
B
B
B

Jadi terbukti bahwa :
– A       –B ≡ B       A
C.    Konvers, invers, dan kontraposisi
Dari suatu komplikasi  p        q, dapat peroleh :
                    i.            q        p yang disebut konvers dari p       q
                  ii.            –p      -q yang disebut invers dari p       q
                iii.            –q       -p yang disebut kontraposisi dari p       q
Tabel kebenaran dari keempat pernyataan diatas sebagai berikut.

Implikasi
Konvers
Invers
Kontraposisi
p
q
– p
– q
p      q
q      p
–p        –q
–q         –p
B
B
S
S
B
B
B
B
B
S
S
B
S
B
B
S
S
B
B
S
B
S
S
B
S
S
B
B
B
B
B
B

Dari tabel kebenaran ini dapat dilihat bahwa
               i.          p        q ≡ – q       – p
             ii.          q        p ≡ – p       – q  





contoh :
Apakah konvers, invers, kantraposisi kalimat dibawah ini ?
a.         Jika merupakan suatu bujur sangkar, maka A merupakan suatu 4 persegi panjang
b.         Jika N adalah bilangan prima > 2, maka N adalah bilangan ganjil
Penyelesaian :
a.         Konvers             :      jika a merupakan 4 persegi panjang maka a adalah suatu  bujur sangkar
       Invers                :      jika a bukan bujur sangkar maka bukan 4 persegi panjang
       Kontraposisi      :      jika a bukan 4  persegi panjang maka a bukan bujur sangkar
b.         Konvers             :      jika N adalah bilangan ganjil, maka N adalah bilangan prima > 2
       Invers                :      jika N bukan bilangan prima > 2 maka N bukan bilangan ganjil
       Kontraposisi      :      jika N bukan bilangan ganjil, maka N bukan bilangan prima. > 2



KESIMPULAN
Matematika Diskrit adalah salah satu ilmu yang memiliki banyak kegunaan dalam berbagai bidang ilmu lainnya. Salah satu cabang dalam ilmu matematika diskrit, yaitu logika yang sangat penting dalam kehidupan sehari-hari.

Dari penjelasan dan pembahasan tentang logika matematika, dapat dapat disimpulkan bahwa matematika merupakan mata kuliah yang sangat membutuhkan pemahaman yang tinggi, khususnya dalam kehidupan sahari-hari logika peranan yang sangat penting, karena apabila seseorang tidak memahami logika maka akan sering terjadi kesalapahaman dalam kehidupan sehari-hari. Logika matematika juga memberikan bukti bahwa pada bidang matematika itu bukan  selamanya berupa angka- angka tapi selain dari itu  terdapat sebuah pernyataan-pernyataan yang membutuhkan pemahaman tinggi.

SARAN-SARAN
Dalamn makalah ini masih terdapat kekurangan dan masih sangat membutuhkan penambahan-penambahan, misalnya contoh-contoh dan pembahasan yang mungkin masih belum bisa dimengerti dengan cepat oleh yang sempat membacanya, kami harapka semoga makalah ini dapat berguna bagi pewmbacanya dan dapat menjadi reperensi dalam  mempelajari logika matematika, karena begitu pentingnya logika dalam kehidupan sehari-hari maka kami sarankan kepada teman-teman  untuk dapat memahami logika untuk menghindari  kesalahpahaman  yang mungkin terjadi.


DAFTAR PUSTAKA